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<<   作成日時 : 2006/02/17 00:59   >>

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■面白いひっかけ

ニャー速:この問題おかしい!!

元の話
>昔の某大学の入試問題で
>ジョーカーを除いたトランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった。
>そして、残りのカードをよく切ってから3枚抜き出したところ、3枚ともダイアであった。
>このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。

>答えが1/4ってのは納得出来ない!
>10/49だろ!!

で、このスレッドについた投稿と、ニャー速さんについてるコメントを見て10/49派の多さに笑った。


とか言っていたら、こっちが間違っていたわけだ...orz....ということで、撤回しますね



 

10/49派の内、幾分かは「釣り」だと思うけどね。

問題を単純にしちゃう。

  赤白の玉二個ずつのセットを袋に入れて掻き回す。
  一個を別の袋に入れる。
  残った三個から一個取り出したら赤でした。
  最初に別の袋に入れたのが赤である確率は?

という問題になる。

10/49派の意見だと、赤である確率は1/3ということになるそうだ。でもって、10/49派の論拠を上記単純化にあわせると、

別開残残
袋示12
赤赤白白
白赤赤白
白赤白赤

だから、組み合わせは三つでその内のひとつだけが最初に取り出したのが赤となっているから1/3だ..ということだそうだ。

だが、実際は、赤白の区別をしなければ、以下の通りで1/2になる。

別開残り
袋示
赤赤白白
白赤赤白(白赤白赤と同じ)

でもって、上記条件で、「開示された色と同じモノに100円賭けるから、違うモノであるのに120円賭ける人いないか?」と聞いたら、受けるのが出てきそうな勢いなので笑った。確率の基礎なんですけどねぇ...


追記:
コメントから...

>2947を見てどう思います?

で、2947ってのを見てみると、
-------
あ、わかった。

箱出
○○ ←(1/2)(1/3)=1/6
○● ←(1/2)(2/3)=1/3
●○ ←(1/2)(2/3)=1/3
●● ←(1/2)(1/3)=1/6

それぞれの起こる確率が違う。
2921が勝つのは一番上と一番下だけだから、やっぱり1/3。
-----


袋内と開示の関係は、

袋開
赤赤 =●●
白赤 =○●

の等しい確率の二通りしかないわけなんだよな。

本気で賭をする奴いるのかなぁ...一回12000円対10000円で100回勝負で、120万円用意してくれたら、こっちは100万円用意するよ。1/3派の人だったら、18000円対10000円でも受けるかな?

再追記:
>何で●●と○●の確率が等しいと思えるのかな。
>順番に引くとして、

ここで勘違いがあるんだよね。
もっと極論すると、





の確率は等しい。そして、その後にもうひとつ出して表示されたとしても、





のどちらかである確率は変わらないってことなんだな。順番に引いたとしても同時に引いたとしても、変わらないってこと。

>の場合があって、それぞれの確率が等しいと思っているからでしょう。

いや、後から引くことによって元から入っている確率に変化は起きないということなんだ。変化が起きるとしたら、確定された時のみ。つまり、玉の話で言えば、赤が2個開示されると「確率」から「確定」になるだけのことなんだ。

カードでもっと単純化すると、赤スーツ(ハートorダイヤ)か黒スーツ(スペードorクラブ)かで考えてみたらよい。最初に「一枚裏のまま抜き取ったカードが黒である確率」かは、その後にめくっていって黒スーツが1?25枚出たとしても、1/2だってことなんだ。

さらに追記;
「後の事象についてどうこう」が間違っているってことを理解していないコメントが...

>袋の中に白1つと赤2つが入っています。

それが最初に抽出した一個の色を左右しないということなんだな。

>この答えは、赤か白の2通りしかないので1/2ということですか?

いえいえ、





に影響しないってことですよ。影響するとしたら、確率ではなくなった時のこと。つまり、「赤二個」もしくは「白二個」が提示された場合だけということ。

赤白二個ずつで、一個を隠しておいて、二個目の色と逆に15000円賭けてください。わたしは同じ色に10000円賭けるという賭を100回やる人、はやく出てこないかなぁ...

1/3派の人だと、期待値として有利になるはずなので、名乗りをあげる人がいないのが面白いところです。

再々追記:
>袋の中の色が白か赤の1/2で、あとで何を引いても変わらないことは理解しているのでご心配なく。

その理解のままですね。次に何がでても、最初に赤が入っている確率は1/2ということ。

さらに追記;

お、やっとわかった。
10/49派は、「残った数での確率計算」をしていたわけね。二個目が赤だと、白白赤の3個から一個目を割り出すわけだ。
1/4派は、設問通りに「最初の割合での確率」で「初期の確率」をだしていたわけだ。

>「次に赤が出ても白が出ても」最初の玉が赤である確率は1/2ですが、「次に赤が出た」場合だけを取り出せば、最初の玉が赤である確率は1/3になります。

何がでても(赤が出た場合でも)=赤が出た場合で異なるという矛盾なんだな。

さらにおまけ。

>リンク先のコメントで同じように説明しても、わかってもらえてるのか不明

というか、説明方法としては、「残り3個からの選択として考えるべき」とするのがよいのでは?「確定していまっている」状況での再算出すべきだということで説明しないで、初期状態で考える様な説明だと、わたしと同じ様に間違えると思うよ。



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リンク先コメントの2947を見てどう思います?
この際、こっちで議論してもいい気もしますけど。
2926
URL
2006/02/17 05:05
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何で●●と○●の確率が等しいと思えるのかな。

順番に引くとして、
●●については
はじめに●を引く確率2/4
残りの玉から●を引く確率1/3
→●●と引く確率(2/4)(1/3)=1/6

○●については
はじめに○を引く確率2/4
残りの玉から●を引く確率2/3
→○●と引く確率(2/4)(2/3)=1/3

ふたつの確率は違うよね。
2926
URL
2006/02/17 10:09
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や氏が何で1/4と主張するかがわかった気がします。
おそらく、1?4枚を引くとき、(ダイヤ、ハート、スペード、クラブの頭文字で表す)

ダダダダ
ハダダダ
スダダダ
クダダダ

の場合があって、それぞれの確率が等しいと思っているからでしょう。

これも下の議論から、

ダダダダ
→(13/52)(12/51)(11/50)(10/49)

上以外
→(13/52)(13/51)(12/50)(11/50)

が確率となるので、「ダダダダ」だけ確率が異なります。

1枚引くたびにカードを戻すなりなんなりして、常に52枚のトランプから引くのであれば、すべて同じ確率ですけど。
2926
URL
2006/02/17 11:17
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●●と○●の確率が等しいと主張しつづけているようなので、質問させてください。

袋の中に白1つと赤2つが入っています。
この中から1つ取り出した時、赤が出る確率はいくつでしょう。

この答えは、赤か白の2通りしかないので1/2ということですか?
2926
URL
2006/02/17 20:16
TITLE:
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PASS: 047f6975553d90789d2e3fc8e9579af4
それでは、白1個、赤2個が入った袋から、赤を1個だけ取り出す確率は2/3である、ってことでいいということですね。

このことは、袋に入れたものと同じ色を取り出す確率よりも、異なる色を取り出す確率の方が高い、ということではありませんか?
もし、異なる色を取り出す確率が高い、ということに同意していただけるのなら、それは私がその賭けにのった場合、私が勝つ確率が高い、ということですよね。

正直、今手元に用意できる30万円、全てを賭けていいですよ。後払いでもいいなら、100万でも1000万でも受けます。


ちなみに、袋の中の色が白か赤かは1/2で、あとで何を引いても変わらないことは理解しているのでご心配なく。
2926
URL
2006/02/17 23:10
TITLE:
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再々追記を読みました。
&gt;次に何がでても、最初に赤が入っている確率は1/2ということ。

それはそうですけど、今求めるのはその確率ではない、ってことを説明していきたいと思います。

賭けの話は説明がややこしくなるので、や氏が始めに書いた問題で考えましょう。
この方が、元の問題も考えやすいですし。

赤白の玉二個ずつのセットを袋に入れて掻き回す。
一個を別の袋に入れる。
残った三個から一個取り出したら赤でした。
このとき、別の袋に入れたのが赤である確率は?


「次に何がでても、最初に赤が入っている確率は1/2」ということは、「次に赤が出ても白が出ても、最初に赤が入っている確率は1/2」ということですよね。

もちろんそのとおりですが、問題で問うているのは「2番目に引くのが赤であったときに、最初の玉が赤である確率」だと読み取れると思います。(※)

つまり、「次に赤が出ても白が出ても」のうち、白が出てしまった場合は除かなければならないわけです。

「次に赤が出ても白が
2926
URL
2006/02/18 02:44
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理解していただけたようでうれしいです。

リンク先のコメントで同じように説明しても、わかってもらえてるのか不明だったので、このように直接議論できる場が持てて、楽しかったです。
ありがとうございました。
これで安心して眠れます。

ところで例の賭け、やりましょうか(笑)
2926
URL
2006/02/18 03:27
TITLE:
SECRET: 0
PASS: 047f6975553d90789d2e3fc8e9579af4
コメントの中には、「残り3個からの選択」、問題でいうと「10枚のダイヤを含む、のこり49枚からの選択」として考えるべきとする説明も、もちろんあります。

しかし1/4とする人は、「それは、はじめにダイヤを3枚抜いたあとで、束から引いたときにダイヤが出る確率だから、最初に引いたのがダイヤである確率とは違う」と言います。
この問題では、結局は同じであるとは気づかないようです。
こうなると、時系列にそった説明をしないとわかってくれないわけですよ。

私がここでやった感じの説明以外にも、「あとから引く3枚が必ずダイヤになる世界」と考えれば、はじめに引けるダイヤは10枚しかない、とか書いてみたりいろいろ試したんですけど…。

やはり、こうやって直接話すのが一番ですね。
2926
URL
2006/02/18 04:11
TITLE:
SECRET: 0
PASS: 26880d5219874b581eb01230e447e855
赤白の玉二個ずつのセットを袋に入れて掻き回す。
  一個を別の袋に入れる。
  残った三個から一個取り出したら赤でした。
  最初に別の袋に入れたのが赤である確率は?
二番目に取り出した玉が赤の場合は
赤1赤2白1白2
赤1赤2白2白1

赤2赤1白1白2
赤2赤1白2白1

白1赤1白2赤2
白1赤1赤2白2
白1赤2赤1白2
白1赤2白2赤1

白2赤1白2赤2
白2赤1赤2白2
白2赤2赤1白2
白2赤2白2赤1
の12通り。この場合最初の玉が赤なのは4通り
よって4/12=1/3

URL
2006/05/23 15:04

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